Analysis of Homeomorphism Groups for Finite Spaces with Small Cardinality Using Burnside's Theorem and the Semidirect Product

تحليل زمر التماثلات التماثلية للمساحات الطوبولوجية المنتهية ذات الحجم الصغير باستخدام مبرهنة بيرنسايد والطريقه شبه المباشر

Eenas M. Almeehoub 1

Department of Mathematics ,Faculty of Arts and Sciences –Al-Marj ,Benghazi University ,Libya. Email: inaasmesmari@gmail.com

DOI: https://doi.org/10.53796/hnsj61/18

Arabic Scientific Research Identifier: https://arsri.org/10000/61/18

Pages: 294 - 300

Received at: 2024-12-04 | Accepted at: 2024-12-15 | Published at: 2025-01-01

Download PDF


Abstract: In this article, I compute the number of orbit spaces for finite spaces ∣X∣≤4 using Burnside's Counting Theorem. The group Homeo(X), consisting of all homeomorphisms from a space X onto itself for ∣X∣≤4 ,is calculated using two different methods that yield identical results. These findings contribute to the understanding of the algebraic structure of finite spaces and their applications in mathematics (Elmsmary, 2016).

Keywords: homeomorphism group, split exact sequence ,semi direct product, Burnside's counting theorem, finite topological spaces.

المستخلص: في هذا البحث، نقوم بحساب عدد فضاءات المدارات للمساحات الطوبولوجية المنتهية ∣X∣ ≤ 4 باستخدام مبرهنة بيرنسايد للعد. بالإضافة إلى ذلك، نحسب زمرة التماثلات التماثلية Homeo(X)، التي تمثل جميع التماثلات التماثلية للمساحة على نفسها، عندما يكون حجمها تم استخدام طريقتين مختلفتين في الحساب، وكلتاهما أعطت نفس النتائج. هذه النتائج تساهم في تعزيز الفهم حول البنية الجبرية للمساحات المتناهية، وتوضيح تطبيقاتها في الرياضيات

References:

  1. Armstrong, M. A. (1988). Groups and symmetry. Springer.
  2. Dummit, D. S., & Foote, R. M. (1999). Abstract algebra. Prentice Hall.
  3. Elmsmary, E. M. (2016). Homomorphism groups of finite topological spaces (Master’s thesis). Department of Mathematics, University of Benghazi.
  4. Hatcher, A. (2002). Algebraic topology. Cambridge University Press.
  5. Kelley, J. L. (2008). General topology. Ishi Press.
  6. Kono, S., & Ushitaki, F. (2003). Homeomorphism groups of finite topological spaces and group action. Kyoto University.
  7. Kosnowski, C. (1980). A first course in algebraic topology. Cambridge University Press.
  8. Lee, J. M. (2011). Introduction to topological manifolds (2nd ed.). Springer.
  9. May, J. P. (1999). A concise course in algebraic topology. University of Chicago Press.
  10. Munkres, J. R. (2000). Topology (2nd ed.). Prentice Hall.
  11. Rotman, J. J. (2015). An introduction to the theory of groups (4th ed.). Springer.